Flavio Josefo, el famoso historiador, era un judío de casta sacerdotal, la nobleza de esa comunidad, que vivió en el siglo I d.c. Fue aquella una época convulsa en Judea, llena de tensiones políticas y religiosas, en la que nuestro hombre destacó por su brillante inteligencia, su flexibilidad ideológica y su innato instinto de tránsfuga.
Por su linaje y posición pertenecía a los saduceos, la secta conservadora dentro del judaísmo, aunque durante algún tiempo también coqueteó con los esenios, su corriente más espiritual y apocalíptica, para decantarse al final por los fariseos, grupo integrista judaico cuyo recurso sistemático a la violencia le permitió extenderse hasta controlar la sociedad israelí. Los zelotes eran, por decirlo así, su rama militar. Su buena posición y sus múltiples contactos le facilitaron ser designado para acudir a Roma en misión diplomática. Aprovechó su estancia en la urbe para acercarse a la corte imperial, donde estableció toda una serie de nuevas relaciones que habrían de serle muy útiles más adelante. La libertad de las costumbres y el interés por disfrutar de los placeres de este mundo que allí descubrió, tan diferentes a la rigidez y el mesianismo reinantes en su patria, le entusiasmaron, y se convirtió en un completo admirador de la forma de vida romana… De la forma de vida de la clase alta romana, para ser exactos.
Eso no impidió que, tras regresar a Israel, se uniera a la triunfante Gran Revuelta Judía, llegando a alcanzar el mando militar y el gobierno de toda Galilea. Muy hábil político, logró mantener su posición en medio del torbellino de luchas intestinas y conspiraciones en las que rápidamente degeneró el movimiento. Por el contrario, su actuación militar cuando las legiones de Vespasiano aparecieron fue, digámoslo así, bastante discreta. Tras rendirse a los romanos realizó a su lado el resto de la campaña, y recogió lo sucedido en su obra “La Guerra de los Judíos”, principal fuente histórica de este conflicto y un claro intento de justificación personal.
Este último cambio de bando incluyó una pirueta realmente espectacular. Cercado por los romanos junto con cuarenta de sus hombres, estos votaron por unanimidad suicidarse antes de caer en manos del enemigo. Fueron matándose uno a otro hasta que solo quedaron dos: Josefo, el general, y un soldado. Nuestro hombre convenció al otro superviviente de que igual era mejor dejar un poco el tema de matarse y eso, e ir a probar suerte con los romanos, que ya se sabe que hablando se entiende la gente. El historiador atribuyó todo lo sucedido a la providencia divina, que le protegió durante la masacre, pero desde el mismo instante en que se produjeron los hechos muchos desecharon tanta modestia e insistieron en adjudicarle a él todo el mérito de su extraordinaria fortuna, hasta el punto de que esta anécdota ha dado lugar a un conocido juego, o problema, de matemática recreativa. El enunciado es así:
Eres Flavio Josefo y estás encerrado en una cueva junto a un número X de fanáticos dispuestos a morir antes que rendirse. A ti la idea no te convence demasiado y piensas, más bien, en la manera de pasarte al enemigo, pero si sugieres tal cosa delante de semejante banda de asesinos suicidas no van a dejar de ti un cachito de carne más grande que el del picadillo para albóndigas. Afortunadamente, el líder puede decidir la forma en que se realizará la matanza. ¿Cómo hacerlo para asegurarte de que, al final, solo quede vivo uno; tú?
La formulación del problema da lugar a muchas ramificaciones en función del número de personas implicadas y de si este es o no una potencia de 2. A sí mismo es fundamental decidir si solo se debe calcular la posición de FJ o si también debemos conocer la del otro superviviente; es decir, si consideramos que Josefo, realmente, convenció a un zelote al azar o de si este era su cómplice desde el principio. Pero nosotros vamos a atenernos a los hechos históricos que conocemos: Flavio Josefo estaba acorralado junto a 40 de sus hombres; 41 en total, impar.
Supongamos que cada hombre apuñala a su vecino. Los textos no dicen nada, pero es de suponer que si se hubiera recurrido a fórmulas más complicadas (y difíciles de explicar a un grupo tan numeroso y estresado) lo recogerían.
El 1 mata al 2, el 3 al 4… y así hasta el 41, que por no tener un 42 al que matar, mata al 1.
El 3 es ahora el primero, mata al 5, el 7 al 9, el 11 al 13,… el 31 al 33, el 35 al 37, el 39 al 41.
El 3 mata al 7, el 11 al 15, el 19 al 23, el 27 al 31, el 35 al 39.
Ahora caen el 11 a manos del 3, al 27 lo liquida el 19, y al 3 el 35.
Los números de la suerte son, por tanto, el 19 y el 35. ¿Cómo se calcula esto matemáticamente? Os proponemos una forma sencilla y factible con los medios de que dispone en ese momento Josefo. Comprender quién se salvará no supondría ningún problema si solo participasen tres suicidas, algo más complicado si fueran cinco e iría incrementando su dificultad a medida que aumentara el número de "jugadores". Pero resulta que existe un patrón, como se demuestra en la siguiente tabla:
N es el número de participantes en el proceso, y P1 y P2 los “números de la suerte”.
Lo primero que queda claro es que nunca, en ningún caso, debes ocupar un lugar par (salvo que aspires a la eternidad de forma inmediata).
Las dos posiciones afortunadas también se pueden determinar sin necesidad de completar la tabla, de hecho, con llegar al 16 o 17, un punto en el que aún es posible calcular de cabeza el proceso de eliminación, todo debe quedar claro.
Un puesto, el más sencillo de obtener, corresponde a los números marcados en amarillo. Si os fijáis, a partir de cada cifra potencia de 2 —divisible por 2 hasta la unidad— marcada en azul, la serie se reinicia en el 1 y continúa con la sucesión de impares. ¿Cuál es el último número potencia de 2 de 41? El 32.
41 – 32 = 9
1 (el que se salva en todos los ^2) + [9x2] (al ser impares contamos de dos en dos)= 19
Ya sabes dónde colocarte si quieres vivir, pero… ¿y tú colega?
Contando a partir del 2, primera cifra que admite más de un superviviente, también comienza una sucesión de números impares, que se reinicia cada vez que alcanza la cantidad total de participantes, momento en que, como es lógico, vuelve al principio. Dado que todos los que se salvan son impares, la posición del segundo superviviente avanza dos veces más rápido que la de la rueda. Esto implica que, cada vez que se reinicia lo hace el doble de lejos que antes: 3,4,5=3 – 6,7,8,9,10,11=6… el siguiente punto de coincidencia se alcanzará 12 lugares más adelante, 11+12 = 23, y el siguiente 24 veces después, 23+24= 47, pero ya superamos el número de participantes, por lo tanto partimos de 23.
23=23, 24=1, 25=3….
¿Cuántos números hay entre el 23 y el 41? 18. Como solo contamos impares, por cada nuevo participante la posición del segundo superviviente salta 2 filas, 18x2=36; esto sería correcto si la serie arrancase en el número coincidente, pero no es así, claro, sino en el inmediatamente posterior. Por tanto P=(18x2)-1, o P=1(numero inicial) +[17 (18 menos el número inicial)x2], P=35
Si esta solución os parece demasiado sencilla, y lo que os gusta son las fórmulas, en internet hay cientos de páginas que os proporcionarán todos los algoritmos, ecuaciones y variables que deseéis. Pero, la verdad, cuesta imaginarse a Josefo, o a cualquiera, sacando un ábaco y poniéndose a hacer cálculos en un momento así. Existen maneras más sencillas de solventar una situación como esta, basadas en dos principios fundamentales en toda época y lugar: "Hecha la ley, hecha la trampa (el que reparte se lleva la mejor parte)" y "Los amigos están para las ocasiones".
Flavio decide el orden de la matanza; empieza él y tiene a su colega a su lado. Matemáticamente puede que esta distribución sea desaconsejable, pero, a nivel práctico y dado que cada uno debe matar a quien se encuentra a su lado, resulta una gran ventaja.
Han muerto todos los números pares y se han quedado vivos sus verdugos, marcados en amarillo, los impares. Aquí se produce la primera variación, el 41, tu amigo, no mata a nadie porque el general, tú, debe supervisar el proceso hasta el final. Si la cadena de muertes no es continua, si no que va por rondas, es decir, al terminar cada matanza los supervivientes vuelven a reagruparse (algo bastante probable, dado que deben pasar sobre los cadáveres de sus compañeros) e inician una nueva serie de degollinas, que el que se quede sin “pareja” no participe es algo muy lógico.
Nueva escabechina y todo sigue igual. Es el momento más peligroso, quedan 9 soldados frente a tu colega y tú. Es la segunda vez que os libráis los dos. Aunque, en medio de unas circunstancias tan poco aptas para la reflexión serena, algún zelote llegara a plantearse que aquí hay truco, seguro que podéis acusarle a él de “rajarse” a última hora y mandarlo a que exponga sus quejas en el juicio final.
Ya queda poco, solo permanecen en pie 4 zelotes decididos a suicidarse, tu colega y tú. Aquí surge un problema, el 33 debería enviar al paraíso al 41, tu compadre, y ya sabemos que ni tú ni él tenéis ganas de emprender, en este momento, un viaje tan largo. Caben dos soluciones: o bien el general decide cambiar el orden a última hora (¡¡Aquí mando yo!!), o, más sencillo, cuando el 33 acuda confiado a terminar con las penas del 41, este se le adelanta y termina con las suyas.
¿Qué se va a notar la trampa? Desde luego, pero ya solo quedáis un soldado preguntándose qué pasa, tu colega y tú. Y, bueno, ya se sabe que dos son compañía, pero tres son multitud… ¿O no es verdad, número 17?
En resumen, la posición óptima, desde siempre, es la de jefe y amiguete del jefe. Si es que lo mejor es no romperse mucho la cabeza…
Bueno, la gracia divina ha caído sobre ti y os habéis salvado. Ahora solo te queda plantarte ante el general romano y profetizarle que será emperador (¿No es eso lo que desea secretamente todo general romano?) y, ya de paso, si su hijo cachas está presente, ver en su inmediato futuro a una guapa princesa morenaza loquita por sus huesos.
No te quepa duda de que te creerán. Eres el elegido por los cielos, al que el propio Jehová acaba de salvar de las garras de la muerte.
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